Urodził się w Londynie w 1949 r. jako potomek polskich emigrantów. Swoją artystyczną edukację rozpoczął od nauki malarstwa, rzeźby i grafiki na St. Martin’s School of Art (obecnie Central Saint Martins). W 1973 r. przeprowadził się do Warszawy, żeby studiować projektowanie plakatów pod okiem legendarnego profesora – Henryka Tomaszewskiego. Wyczerpujące metody, które stosował i jego twórczość miały wielki wpływ na późniejsze prace Klimowskiego.
Międzynarodową sławę zdobył jako autor plakatów teatralnych i filmowych, programów teatralnych, filmów eksperymentalnych, satyr politycznych i wszelkich form projektowania graficznego.
Dzięki stosowaniu różnorodności technik fotomontaży i linorytów jego prace zyskują miano ponadczasowych. Operuje najczęściej wizerunkiem ludzkiej postaci łączonej w hybrydy, powielaniem twarzy, transformacji, ustawianiem w niepokojących pozach. Przenikanie warstw, mocno kolorowane fotografie i rastry to jego znaki rozpoznawcze. Pomimo politycznego krajobrazu Polski tamtych czasów, tylko jeden z jego plakatów został zablokowany przez cenzurę. Rzadko się zdarza żeby ilustrator – ograniczony zawodowo przez sytuację panującą w kraju – był zdolny do tworzenia tak alternatywnych odpowiedników omijających bariery, zostając przy tym sobą i rozwijając coraz bardziej swój talent. Klimowskiemu to właśnie się udało.
Punktem zwrotnym w karierze było graficzne zrelacjonowanie powieści Behind the Curtain, współtworzonej z miłością jego życia – Danusią Schejbal i opublikowaną przez SelfMadeHero (za której logiem stoi sam Klimowski). Projektant i znana teatralna scenarzystka stworzyli razem sporo dzieł, m.in. genialny komiks Za żelazną kurtyną obrazujący ich wspólne życie w czasach PRL-u z białym orłem trzymającym w ręce kieliszek wódki na okładce.
Pośród plakatów filmów zawartych w Klimowski Poster Book kryją się takie perły jak: Chinatown, Taxi Driver, czy Omen. Przeglądając książkę, możemy jasno stwierdzić, że autor potrafi swobodnie poruszać się pomiędzy różnymi dyscyplinami sztuki. Mroczne, kolażowe plakaty (teatralne, filmowe, operowe, wydawnicze) wyglądają na niewątpliwie inspirowane polskim i rosyjskim fotomontażem międzywojennym oraz surrealnymi wizjami de Chirico czy Magritte’a. Nowszymi przykładami jego prac są kolaboracje z organizacjami - Cambridge Film Festival, World Chess Tournament, Kinoteką i Commision For Recial Equality.
